Bab 2: Algebra Boolean dan Komponen Komputer Berkaitannya

Bab 2: Algebra Boolean dan Komponen Komputer Berkaitannya

2.1 Pengendali Boolean Asas

Anggaplah saya (pengarang) tinggi dan awak (pembaca) tinggi. Jika seseorang bertanya kepada anda sama ada kami berdua tinggi, anda akan menjawab 'Ya' (benar). Jika dia bertanya sama ada kami berdua pendek, anda akan menjawab 'Tidak' (salah). Jika anda pendek dan saya tinggi, dan dia bertanya kepada anda sama ada anda atau saya tinggi, jawapan anda adalah 'Ya' (benar). Jika dia bertanya sama ada anda dan saya tinggi, anda tidak akan mempunyai jawapan. Anda mungkin terus mengatakan bahawa soalan terakhir tidak boleh ditanya atau soalan itu tidak mempunyai jawapan. Baiklah, saya mahu anda (pembaca) tahu bahawa hari ini, dalam keadaan tertentu, soalan itu harus ditanya.

Dalam biologi, seseorang itu sama ada tinggi atau pendek. Ia adalah keadaan 'persekitaran' yang menjadikan seseorang itu mempunyai ketinggian sederhana. Seorang saintis, George Boole, mentakrifkan satu set jawapan atau peraturan untuk soalan jenis ini. Kami akan mempelajari peraturan ini dalam bahagian kursus kerjaya dalam talian ini (bab). Peraturan ini digunakan dalam pengkomputeran, pengaturcaraan, elektronik dan telekomunikasi hari ini. Malah, tanpa peraturan ini, anda tidak akan mempunyai komputer, seperti biasa hari ini; anda juga tidak akan mempunyai pengaturcaraan, kerana ia adalah perkara biasa hari ini.

Betul atau salah
Pernyataan bahasa manusia yang mudah adalah sama ada benar atau salah dengan sendirinya. Jika saya berkata, 'Saya tinggi', itu sama ada benar atau salah. Jika saya berkata, 'anda tinggi', itu sama ada benar atau salah. Jika saya tinggi dan anda pendek, dan soalan ditanya sama ada anda dan saya tinggi, dalam Logik Boolean, jawapan benar atau salah mesti diberikan. Yang manakah antara kedua-dua ini harus diberikan? Boole tidak benar-benar menjawab soalan ini. Dia hanya datang dengan satu set peraturan untuk kita ikuti. Berita baiknya ialah, apabila anda mengikuti peraturan ini dalam konteks yang betul, anda tidak mempunyai sebarang kekaburan. Terima kasih kepada peraturan ini, kami mempunyai komputer dan pengaturcaraan hari ini. Peraturan diberikan kepada anda sekarang. Peraturan-peraturan itu tidak boleh diterangkan; anda hanya menerima mereka. Peraturannya adalah di bawah tiga tajuk: DAN, ATAU, dan TIDAK.

DAN
Soalan boleh ditanya sama ada awak DAN saya tinggi. Ketinggian saya dan ketinggian anda kemudiannya digabungkan dengan set peraturan DAN. Ini adalah peraturan DAN yang perlu dipatuhi:

palsu DAN palsu = palsu
palsu DAN benar = palsu
benar DAN salah = palsu
benar DAN benar = benar

Sekarang, biarkan tinggi benar dan pendek palsu. Ini bermakna jika saya pendek DAN anda pendek, anda dan saya pendek. Jika saya pendek DAN anda tinggi, anda dan saya pendek; itulah jawapan Boolean yang anda perlu terima. Jika saya tinggi DAN awak pendek, kedua-dua awak dan saya pendek. Jika saya tinggi DAN awak tinggi, awak dan saya tinggi. Semua ini adalah DAN peraturan Boolean yang anda (pembaca) hanya perlu terima.

ATAU
Soalan boleh ditanya jika anda ATAU saya tinggi. Ketinggian saya dan ketinggian anda kemudiannya digabungkan dengan set peraturan ATAU. Ini adalah peraturan ATAU yang perlu dipatuhi:

palsu ATAU palsu = palsu
palsu ATAU benar = benar
benar ATAU palsu = benar
benar ATAU benar = benar

Sekali lagi, biarkan tinggi benar dan pendek palsu. Ini bermakna jika saya pendek ATAU anda pendek, anda ATAU saya pendek. Jika saya pendek ATAU awak tinggi, awak atau saya tinggi. Jika saya tinggi ATAU awak pendek, awak ATAU saya tinggi. Jika saya tinggi ATAU awak tinggi, awak atau saya tinggi. Semua ini adalah peraturan Boolean yang perlu anda terima.

TIDAK
Sekarang, dalam logik Boolean, hanya dua keadaan (kemungkinan jawapan) wujud. Iaitu, jika anda TIDAK tinggi, anda pendek. Jika anda TIDAK pendek, anda tinggi; tiada lagi. Ini adalah peraturan BUKAN untuk dipatuhi:

BUKAN palsu = benar
TIDAK benar = palsu

Andaikan anda mempunyai rentetan (atau spring) yang boleh anda panjangkan (tarik). Walaupun rentetan berada dalam keadaan semula jadi, jika saya katakan, 'TIDAK pendek', anda akan memanjangkannya; itulah tafsirannya. Semasa rentetan dilanjutkan, jika saya katakan, 'TIDAK lama', anda akan membenarkannya mengecut; itulah tafsirannya.

Anda perlu menghafal semua peraturan yang diberikan dalam kategori yang berbeza.

Lebih Daripada Dua Operand
Dalam bahasa komputer, AND, OR, dan NOT masing-masing dipanggil operator. Untuk operator NOT, anda hanya memerlukan satu operan (nilai kepada operator) untuk mendapatkan jawapan. Untuk operator AND atau OR, anda boleh mempunyai lebih daripada dua operan. Kes sebelumnya menunjukkan dua operan untuk DAN dan ATAU. Anda boleh mempunyai tiga operan untuk DAN seperti berikut:

palsu DAN palsu DAN palsu = palsu
palsu DAN palsu DAN benar = palsu

Ini adalah dua baris; setiap satu mempunyai dua operator AND. Sebenarnya terdapat sembilan baris apabila operan adalah tiga. Dengan operator AND, hanya baris terakhir (baris kesembilan) adalah sama dengan benar; semua baris sebelumnya adalah palsu. Ambil perhatian bahawa dengan dua operan untuk DAN, hanya baris terakhir adalah benar; semua tiga baris sebelumnya adalah palsu. Apabila operan adalah empat, terdapat 16 baris dan hanya baris terakhir yang benar untuk operator DAN.

Corak untuk DAN dan corak untuk ATAU adalah berbeza. Dengan tiga operan untuk dua operator OR, terdapat juga sembilan baris dan hanya baris pertama, kali ini, adalah palsu. Baris kedua hingga kesembilan adalah benar. Ambil perhatian bahawa dengan dua operan untuk OR, hanya baris pertama masih benar; kesemua tiga baris yang tinggal adalah palsu. Apabila operan adalah empat untuk OR, terdapat juga 16 baris.

Operator NOT berurusan dengan hanya satu operan. Yang TIDAK salah adalah benar dan yang TIDAK benar adalah palsu.

2.2 Dua Jadual Kebenaran Operand dan Komponen Elektroniknya

Dalam matematik, terdapat satu topik yang dipanggil algebra. Sebahagian kecil daripadanya telah dilihat dalam bab sebelumnya. Terdapat sejenis algebra yang dipanggil algebra Boolean. Dalam algebra Boolean, benar dikenal pasti oleh asas dua digit iaitu 1 dan salah dikenal pasti oleh asas dua digit iaitu 0.

Komponen unit komputer dalaman ialah komponen elektronik. Unit sistem sistem komputer mempunyai komponen elektronik digital. Operasi AND dilakukan oleh komponen elektronik kecil yang dipanggil get AND. Operasi OR dilakukan oleh komponen elektronik kecil yang dipanggil gerbang OR. Operasi NOT dilakukan oleh komponen elektronik kecil yang dipanggil get NOT. Terlalu banyak get ini boleh berada dalam cip Litar Bersepadu (IC).

DAN Meja Kebenaran dan Gerbangnya
Jadual berikut memberikan jadual kebenaran AND dan simbol get AND (litar kecil):

Untuk kedua-dua jadual kebenaran AND dan getnya, A dan juga B ialah dua pembolehubah input. Q ialah pembolehubah keluaran. A adalah sama ada 1 atau 0. B ialah sama ada 1 atau 0. Q ialah sama ada 1 atau 0. Jadual kebenaran DAN dengan 1 dan 0 adalah sama dengan susun atur (jadual) benar/salah DAN kebenaran sebelumnya. Persamaan AND ialah:

A . B = Q

di mana titik (.) bermaksud DAN (Boolean). Titik boleh diabaikan untuk mempunyai AB = Q yang bermaksud perkara yang sama (DAN).

Nota: Bit untuk A dan B dalam empat baris, sebagai pasangan, ialah empat nombor pertama dalam asas dua bermula dari 0 (atau 00), iaitu 00, 01, 10, 11.

Jadual berikut memberikan jadual kebenaran OR dan simbol get OR (litar kecil):

Untuk kedua-dua jadual kebenaran OR dan getnya, A dan juga B ialah dua pembolehubah input. Q ialah pembolehubah keluaran. Jadual kebenaran ATAU dengan 1 dan 0 adalah sama dengan susun atur kebenaran ATAU benar/salah sebelumnya (jadual).

Persamaan OR ialah:

A + B = Q

Di mana + di sini bermaksud Boolean ATAU dan bukan penambahan. Persamaan dibaca sebagai 'A atau B sama dengan Q'.

Jadual berikut memberikan jadual kebenaran NOT dan simbol get NOT (litar kecil):

Jadual kebenaran NOT atau get NOT hanya mempunyai satu input dan satu output. Apabila input ialah 0, output ialah 1. Apabila input ialah 1, output ialah 0. Get NOT melakukan sejenis penyongsangan. Pembolehubah keluaran adalah sama dengan pembolehubah input, tetapi dengan bar (bergaris atas). Jadual NOT kebenaran dengan 1 dan 0 adalah sama seperti susun atur benar/salah ATAU kebenaran sebelumnya (jadual).

Persamaan NOT ialah:

A = Q

Di mana Q = A dan bar di atas A di sini bermaksud pelengkap. Pelengkap 0 ialah 1 dan pelengkap 1 ialah 0. get NOT juga dikenali sebagai get INVERTING.

Ini ialah jadual kebenaran asas (atau akar) dan gerbangnya (litar kecil) dalam elektronik digital (dengan algebra Boolean). Tiga jadual kebenaran lain yang diberikan dalam ilustrasi berikut dan pintu gerbangnya adalah untuk kemudahan dan berdasarkan tiga jadual kebenaran sebelumnya.

Terdapat jadual dan gerbang kebenaran yang diperoleh daripada jadual dan pintu kebenaran DAN. Mereka dipanggil jadual kebenaran NAND (untuk NOT AND) dan get NAND yang sepadan. Jadual kebenaran NAND dan get NANDnya ialah:

Untuk mendapatkan jadual kebenaran NAND, pergi ke output jadual kebenaran DAN dan gantikan setiap digit dengan pelengkapnya. Pelengkap 0 ialah 1 dan pelengkap 1 ialah 0. Gerbang NAND adalah seperti get AND, tetapi mempunyai bulatan kecil sebelum garis keluaran. Persamaan NAND ialah:

Di mana bermaksud pelengkap keputusan 'A' DAN 'B'. Bar (atas garisan) diwakili dalam pagar oleh bulatan kecil. Ambil perhatian bahawa titik antara A dan B boleh diabaikan.

Terdapat satu lagi jadual kebenaran dan gerbang yang diperoleh daripada jadual kebenaran ATAU dan gerbang. Mereka dipanggil jadual kebenaran NOR (untuk NOT OR) dan get NOR yang sepadan. Jadual kebenaran NOR dan get NORnya ialah:

Untuk mendapatkan jadual kebenaran NOR, pergi ke output jadual kebenaran OR dan gantikan setiap digit dengan pelengkapnya. Pelengkap 0 ialah 1 dan pelengkap 1 ialah 0. Gerbang NOR adalah seperti get OR, tetapi mempunyai bulatan kecil sebelum garis keluaran. Persamaan NOR ialah:

di mana bermaksud pelengkap keputusan “A” ATAU “B”. Bar (garis atas) diwakili dalam pintu gerbang oleh bulatan kecil.

Eksklusif ATAU (XOR)
Jadual kebenaran untuk get OR ialah:

Dalam bahasa Inggeris biasa, tidak jelas sama ada baris terakhir 1 ATAU 1 harus memberikan 1 atau 0. Jadi, dalam algebra Boolean, terdapat dua jenis jadual kebenaran ATAU dan dua get yang sepadan. Dengan OR biasa, baris terakhir 1 OR 1 memberikan 1. Jenis OR yang lain ialah eksklusif-OR (XOR) di mana tiga baris pertama adalah sama dengan tiga baris pertama OR biasa (termasuk output). Walau bagaimanapun, untuk baris keempat dan terakhir, 1 ATAU 1 memberikan 0.

Jadual berikut memberikan jadual kebenaran XOR dan simbol get XOR (litar kecil):

Untuk kedua-dua jadual kebenaran XOR dan getnya, 'A' serta 'B' ialah dua pembolehubah input. 'Q' ialah pembolehubah keluaran.

Persamaan XOR ialah:

A ⊕ B = Q

Di mana ⊕ di sini bermaksud Boolean XOR.

ATAU biasa bermaksud salah satu atau kedua-duanya. Eksklusif ATAU bermaksud dengan tegas sama ada dan bukan kedua-duanya.

2.3 Postulat Boolean

Postulat adalah andaian berdasarkan kesimpulan tertentu yang dibuat. Terdapat sepuluh postulat Boolean yang berakar dari persamaan AND, OR, dan NOT (jadual kebenaran). Persamaan ini juga dipanggil fungsi. Fungsi asas disalin semula seperti berikut:

Ini adalah fungsi asas (persamaan) dalam algebra Boolean. Tiga persamaan (fungsi) lain yang berikut bukan fungsi asas:

Walaupun fungsi terakhir di sini adalah pelik, ia tidak dianggap sebagai fungsi asas.

Postulat Boolean adalah seperti berikut:

Daripada Fungsi DAN
1) 0 . 0 = 0
dua puluh. 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

Daripada Fungsi OR
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

Daripada Fungsi NOT
9) 0 = 1
10) 1 = 0

Catatan: Postulat ini hanyalah baris dalam jadual kebenaran DAN, ATAU, dan BUKAN yang dinyatakan secara bebas. Pembaca harus menghafal postulat yang diberikan.

2.4 Sifat Boolean

Harta adalah seperti ciri sesuatu. Sifat Boolean ialah persamaan yang diperoleh daripada postulat Boolean. Dalam bahagian ini, sifat hanya diberikan tanpa terbitannya dan kemudian digunakan selepas itu. Terdapat dua puluh lima sifat yang dikelompokkan di bawah sepuluh tajuk seperti berikut:

Sifat Fungsi DAN

Harta 1:

Di mana X boleh menjadi 1 atau 0. Ini bermakna tidak kira apa pun X, hasilnya sentiasa 0.

Nota: Pembolehubah tidak semestinya A atau B atau C atau D. Pembolehubah boleh menjadi W atau X atau Y atau Z atau mana-mana huruf lain.

Hartanah 2:

Di mana X boleh menjadi 1 atau 0. Perhatikan bahawa perbezaan antara sifat 1 dan sifat 2 ialah di sebelah kiri tanda sama bagi kedua-dua persamaan, kedudukan X dan 0 ditukar ganti.

Hartanah 3:

Jika X ialah 0, maka 0. 1 = 0. Jika X ialah 1, maka 1. 1 = 1.

Harta 4:

Jika X ialah 0, maka 1. 0 = 0. Jika X ialah 1, maka 1. 1 = 1. Perhatikan bahawa perbezaan antara sifat 3 dan sifat 4 ialah di sebelah kiri kedua-dua persamaan, kedudukan bagi X dan 1 ditukar ganti.

Sifat Fungsi ATAU

Harta 5:

Di mana X boleh menjadi 1 atau 0. Ini bermakna jika X ialah 0, hasilnya ialah 0. Jika X ialah 1, hasilnya ialah 1.

Harta 6:

Di mana X boleh menjadi 1 atau 0. Perhatikan bahawa perbezaan antara sifat 5 dan sifat 6 ialah di sebelah kiri kedua-dua persamaan, kedudukan X dan 0 ditukar ganti.

Hartanah 7:

Jika X ialah 0, maka 0 + 1 = 1. Jika X ialah 1, maka 1 + 1 = 1.

Hartanah 8:

Jika X ialah 0, maka 1 + 0 = 1. Jika X ialah 1, maka 1 + 1 = 1. Perhatikan bahawa perbezaan antara sifat 7 dan sifat 8 ialah di sebelah kiri kedua-dua persamaan, kedudukan bagi X dan 1 ditukar ganti.

Sifat Berkenaan Gabungan Pembolehubah dengan Sendiri atau Pelengkapnya

Hartanah 9:

Iaitu: jika X ialah 0, maka 0 . 0 = 0. Jika X ialah 1, maka 1 . 1 = 1.

Hartanah 10:

Iaitu: jika X ialah 0, maka 0. 1 = 0. Jika X ialah 1, maka 1. 0 = 0.

Untuk pembolehubah berturut-turut, sifat ini menjadi:

Hartanah 11:

Iaitu: jika X ialah 0, maka 0 + 0 = 0. Jika X ialah 1, maka 1 + 1 = 1 (daripada biasa ATAU).

Hartanah 12:

Iaitu: jika X ialah 0, maka 0 + 1 = 1. Jika X = 1, maka 1 + 0 = 1.

Iaitu: jika X ialah 0, maka 0 + 1 = 1. Jika X = 1, maka 1 + 0 = 1.

Pelengkap Berganda

Hartanah 13:

Apabila X di sebelah kiri ialah 0, X di sebelah kanan menjadi 0. Apabila X di sebelah kanan ialah 1, X di sebelah kiri menjadi 1. Dengan kata lain, pelengkap berganda memberikan kembali nilai asal.

Undang-undang komutatif

Hartanah 14:

Ini bermakna menukar operan pertama dan kedua untuk operator AND, di sebelah kiri tanda sama, tidak penting; jawapannya masih sama selepas pertukaran di sebelah kiri telah berlaku. Persamaan ini boleh ditulis dengan titik-titik dihilangkan sebagai: XY = YX.

Hartanah 15:

Penjelasan di sini adalah sama seperti dalam AND sebelumnya, tetapi ia adalah untuk pengendali OR.

Undang-undang Pengedaran

Hartanah 16:

Di sini terdapat tiga pembolehubah: X, Y dan Z. Setiap pembolehubah boleh sama ada 1 atau 0. Di sebelah kiri simbol yang sama, kurungan bermaksud untuk menilai apa yang ada di dalamnya terlebih dahulu. Kemudian, DAN ialah hasil dengan X. Sebelah kanan mengatakan bahawa X DAN Y bersama, ATAU X DAN Z bersama, adalah sama dengan sebelah kiri. Ambil perhatian bahawa pengendali titik untuk AND diabaikan sepanjang; dan pembolehubah bergabung masih bermakna DAN.

Hartanah 17:

Sifat ini adalah lanjutan daripada sifat 16 dengan pembolehubah tambahan bagi W.

Undang-undang Bersekutu

Hartanah 18:

Kurung bermaksud menilai apa yang ada dalam kurungan dahulu. Jadi, untuk ungkapan di sebelah kiri, jika Y dengan Z adalah DAN terlebih dahulu, dan X adalah DAN dengan hasilnya, maka hasil akhir di sebelah kiri adalah sama dengan keputusan akhir di sebelah kanan. -sebelah tangan di mana X dengan Y adalah DAN terlebih dahulu sebelum ANDing keputusan dengan Z. Ambil perhatian bahawa titik telah ditinggalkan dalam persamaan.

Hartanah 19:

Sifat ini diterangkan dengan cara yang sama seperti harta 18, tetapi pengendali ATAU digunakan dan bukannya pengendali DAN. Operator OR + tidak pernah diabaikan daripada ungkapan Boolean demi kesederhanaan. Sebaliknya, operator AND boleh diabaikan dan kedua-dua pembolehubah boleh digabungkan.

Penyerapan

Hartanah 20:

Dengan persamaan ini, tidak kira apa pun Y, bahagian kanan akan sentiasa X (diserap).

Hartanah 21:

Juga, dengan persamaan ini, tidak kira apa pun Y, bahagian kanan akan sentiasa X (diserap). Sifat 21 ini adalah sama dengan sifat 20 iaitu:

Di sini, kami menggunakan undang-undang pengagihan dan fakta bahawa X.X = X harta 9.

Sebuah Identiti

Hartanah 22:

Ini bermakna untuk ungkapan X + Y, pelengkap X di hadapan Y tidak mengubah ungkapan.

Hartanah 23:

Ini bermakna untuk ungkapan XY, pelengkap X ORed dengan Y dalam kurungan, yang dilakukan terlebih dahulu, tidak mengubah ungkapan XY.

Undang-undang DeMorgan

Hartanah 24:

Ini bermakna get NOR (NOT OR) mempunyai hasil yang sama seperti NOTing dua input sebelum ANDing mereka.

Hartanah 25:

Ini bermakna get NAND (NOT AND) mempunyai hasil yang sama seperti NOTing dua input sebelum ORing.

Ilustrasi yang disediakan ialah 25 sifat. Mereka boleh dibuktikan dengan menggantikan semua kemungkinan nilai 1 dan 0 yang berbeza, dalam setiap ungkapan di sebelah kiri, untuk melihat sama ada ungkapan (atau hasil) di sebelah kanan diperoleh. Buktinya dibiarkan sebagai latihan untuk pembaca.

2.5 Permudah Ungkapan Majmuk

Dua fungsi berikut adalah sama:

Z ialah output dan X, W, dan Y ialah input. Yang pertama memerlukan get NAND, get OR, get AND, dua get NOT, gate OR, dan get NOR. Yang kedua hanya memerlukan dua pintu AND. Yang pertama ialah persamaan dengan ungkapan majmuk, di sebelah kanan, yang telah dipermudahkan (dikurangkan) kepada istilah ungkapan tangan kanan tunggal untuk persamaan kedua.

Penyederhanaan atau pengurangan membawa kepada bilangan get yang lebih sedikit untuk melaksanakan fungsi yang sama seperti litar. Litar yang lebih kecil sedemikian boleh menjadi sebahagian daripada Litar Bersepadu (IC) atau menjadi litar bersendirian pada permukaan papan induk komputer.

Apabila fungsi (persamaan) tiba pada proses reka bentuk, pemudahan perlu dilakukan untuk mengurangkan bilangan get dan berakhir dengan litar yang lebih murah. Penyederhanaan memerlukan penggunaan satu atau lebih daripada dua puluh lima sifat Boolean sebelumnya.

Contoh 2.51:

Kurangkan persamaan:

Catatan: Dua kurungan bersebelahan antara satu sama lain bermakna bahawa kurungan adalah DAN (titik di antaranya secara pilihan tidak ditulis).

Penyelesaian:
Untuk penyelesaian, justifikasi (sebab) bagi setiap langkah diberikan di sebelah kanan langkah, dalam kurungan. Pembaca harus membaca setiap langkah dan justifikasinya. Pembaca juga harus merujuk kepada sifat sebelumnya semasa dia membaca langkah pengurangan fungsi.

Contoh 2.52:

Permudahkan:

2.6 Jumlah Minimum Produk

Dua fungsi berikut adalah sama:

Kedua-dua ungkapan sebelah kanan kedua-dua persamaan dikatakan dalam bentuk Jumlah Produk (SP). Ungkapan ekspres dikatakan berada dalam bentuk Jumlah Produk jika ia tidak mempunyai tanda kurungan. Adalah jelas bahawa fungsi pertama (persamaan) memerlukan lebih banyak gerbang daripada fungsi kedua.

Ungkapan tangan kanan pertama masih boleh dikurangkan untuk mendapatkan fungsi kedua. Ungkapan sebelah kanan kedua tidak boleh dipermudahkan lagi dan masih dinyatakan sebagai Jumlah Produk (“penambahan” syarat). Ungkapan sebelah kanan kedua tidak boleh dipermudahkan lagi. Jadi, ia dikatakan dalam bentuk Jumlah Minimum Produk (MSP).

Contoh 2.61:
Bawa fungsi berikut dahulu ke borang Jumlah Produk dan kemudian ke borang Jumlah Minimum Produk.

Penyelesaian:
Apabila menyelesaikan masalah seperti ini, satu atau lebih daripada dua puluh lima sifat sebelumnya perlu digunakan seperti yang digambarkan dalam penyelesaian ini:

2.6 Jumlah Minimum Produk

Dua fungsi berikut adalah sama:

Kedua-dua ungkapan sebelah kanan kedua-dua persamaan dikatakan dalam bentuk Jumlah Produk (SP). Ungkapan ekspres dikatakan berada dalam bentuk Jumlah Produk jika ia tidak mempunyai tanda kurungan. Adalah jelas bahawa fungsi pertama (persamaan) memerlukan lebih banyak gerbang daripada fungsi kedua.

Ungkapan tangan kanan pertama masih boleh dikurangkan untuk mendapatkan fungsi kedua. Ungkapan sebelah kanan kedua tidak boleh dipermudahkan lagi dan masih dinyatakan sebagai Jumlah Produk (“penambahan” syarat). Ungkapan sebelah kanan kedua tidak boleh dipermudahkan lagi. Jadi, ia dikatakan dalam bentuk Jumlah Minimum Produk (MSP).

Contoh 2.61:
Bawa fungsi berikut dahulu ke borang Jumlah Produk dan kemudian ke borang Jumlah Minimum Produk.

Penyelesaian:
Apabila menyelesaikan masalah seperti ini, satu atau lebih daripada dua puluh lima sifat sebelumnya perlu digunakan seperti yang digambarkan dalam penyelesaian ini:

Ungkapan terakhir ini adalah dalam bentuk Jumlah Produk (SP), tetapi bukan dalam bentuk Jumlah Produk Minimum (MSP). Bahagian pertama soalan telah dijawab. Penyelesaian untuk bahagian kedua adalah seperti berikut:

Fungsi dipermudahkan terakhir ini (persamaan) adalah dalam bentuk MSP, dan memerlukan lebih sedikit bilangan get untuk pelaksanaan daripada bentuk SP yang sepadan. Ingat: SP bermaksud Jumlah Produk manakala MSP bermaksud Jumlah Minimum Produk.

Contoh 2.62:
Litar berikut mempunyai input X, Y, dan W dan Z ialah output. Hasilkan fungsi Jumlah Produk (SP) (jumlah minimum fungsi produk) untuk Z. Kemudian, hasilkan Jumlah Produk (MSP) yang lebih dikurangkan (diminimumkan). Kemudian, laksanakan litar MSP (lukiskan rangkaian gating MSP).

Rajah 2.61 Litar Gating

Penyelesaian:
Sebelum proses penyederhanaan bermula, ungkapan untuk Z mesti diperoleh dari segi X, Y dan W. Rujuk contoh ilustrasi dari rajah ini:

Ini adalah ungkapan Z dari segi X, Y, dan W. Selepas ini, pemudahan kepada MSP ketara boleh berlaku. MSP nampaknya ialah SP.

Persamaan (fungsi) terakhir ini adalah dalam bentuk SP. Ia tidak benar Jumlah Minimum Produk (belum lagi MSP). Jadi, pengurangan (minimization) perlu diteruskan.

Persamaan (fungsi) terakhir ini ialah Jumlah Minimum Produk (MSP) sebenar. Dan Jumlah Minimum Produk (minimum benar) litar gating ialah:

Rajah 2.62 Litar Gating MSP

Komen
Daripada analisis di bahagian ini, dapat dilihat bahawa tidak jelas sama ada Jumlah Produk adalah Jumlah Minimum Produk atau tidak. SP tidak begitu berguna. Ia adalah MSP yang sangat berguna. Terdapat cara yang terjamin untuk mendapatkan MSP; ia adalah untuk menggunakan Peta Karnaugh. Peta Karnaugh berada di luar skop kursus kerjaya dalam talian ini.

2.7 Masalah

Pembaca dinasihatkan untuk menyelesaikan semua masalah dalam bab sebelum beralih ke bab seterusnya.

1. Hasilkan jadual kebenaran DAN, ATAU, dan BUKAN dengan get sepadannya.
2. Tulis sepuluh Postulat Boolean dalam kategori berbeza mereka, menamakan kategori.
3. Tanpa penjelasan, tuliskan dua puluh enam sifat algebra Boolean dalam kategori berbeza mereka, menamakan kategori tersebut.
4. Kurangkan persamaan menggunakan sifat Boolean dan sebutkan kategori yang digunakan.



5. Kurangkan persamaan menggunakan sifat Boolean dan sebutkan kategori yang digunakan.



6. Menggunakan sifat Boolean dan memetik kategori yang digunakan, kurangkan persamaan berikut – pertama kepada Jumlah Produk dan kemudian kepada Jumlah Minimum Produk:



7. Menggunakan sifat Boolean dan memetik kategori yang digunakan, kurangkan persamaan berikut – pertama kepada Jumlah Produk dan kemudian kepada Jumlah Minimum Produk: